######################################################################
# This file was *autogenerated* from the file agt-sage-code.sage.
######################################################################
#### ch 1

sage: True and True
True
sage: True and False
False
sage: False and True
False
sage: False and False
False

sage: def implies(p,q): return not(p and not(q))
sage: implies(True,True)
True
sage: implies(True,False)
False
sage: implies(False,True)
True
sage: implies(False,False)
True

sage: S1 = Set([Integer(1),ZZ,"Zeus"])
sage: S2 = Set([S1,Integer(1),"Hera"])
sage: S1; S2
{Integer(1), 'Zeus', Integer Ring}
{{Integer(1), 'Zeus', Integer Ring}, Integer(1), 'Hera'}
sage: S2.cardinality()
Integer(3)
sage: S1.difference(S2)
{'Zeus', Integer Ring}
sage: S2.difference(S1)
{{Integer(1), 'Zeus', Integer Ring}, 'Hera'}
sage: "Zeus" in S1
True
sage: S2.symmetric_difference(S1)
{{Integer(1), 'Zeus', Integer Ring}, 'Hera', 'Zeus', Integer Ring}
sage: S1.symmetric_difference(S2)
{{Integer(1), 'Zeus', Integer Ring}, 'Hera', 'Zeus', Integer Ring}
sage: S1.intersection(S2)
{Integer(1)}
sage: S1.union(S2)
{{Integer(1), 'Zeus', Integer Ring}, Integer(1), 'Hera', 'Zeus', Integer Ring}


### ch 2

sage: euler_phi(Integer(3))
Integer(2)
sage: pi = lambda x: pari(x).primepi()
sage: pi(Integer(4))
Integer(2)
sage: f1 = lambda x: sqrt(x)
sage: f1(Integer(3))
sqrt(Integer(3))
sage: f1(Integer(4))
Integer(2)
sage: f2 = lambda x: RR(sqrt(x))
sage: f2(Integer(3))
RealNumber('1.73205080756888')
sage: f2(Integer(4))
RealNumber('2.00000000000000')

sage: f = x**Integer(4) - Integer(16)
sage: f.roots()
[(Integer(2)*I, Integer(1)), (-Integer(2), Integer(1)), (-Integer(2)*I, Integer(1)), (Integer(2), Integer(1))]

sage: list(cartesian_product_iterator([[Integer(1),Integer(2)], ['a','b']]))
[(Integer(1), 'a'), (Integer(1), 'b'), (Integer(2), 'a'), (Integer(2), 'b')]

sage: A = matrix(Integer(3),Integer(3),[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5),Integer(6),Integer(7),Integer(8),Integer(9)])
sage: (-Integer(1))*A
[-Integer(1) -Integer(2) -Integer(3)]
[-Integer(4) -Integer(5) -Integer(6)]
[-Integer(7) -Integer(8) -Integer(9)]
sage: v = vector([Integer(1),Integer(1),Integer(1)])
sage: A*v
(Integer(6), Integer(15), Integer(24))
sage: x = var("x"); y = var("y"); z = var("z")
sage: w = vector([x,y,z])
sage: A*w
(  Integer(3) z + Integer(2) y + x, Integer(6) z + Integer(5) y + Integer(4) x, Integer(9) z + Integer(8) y + Integer(7) x)

sage: A = matrix(Integer(3),Integer(3),[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5),Integer(6),Integer(1),Integer(0),Integer(0)])
sage: det(A)
-Integer(3)
sage: A**(-Integer(1))
[   Integer(0)    Integer(0)    Integer(1)]
[  -Integer(2)    Integer(1)   -Integer(2)]
[ Integer(5)/Integer(3) -Integer(2)/Integer(3)    Integer(1)]
sage: B = matrix(Integer(4),Integer(3),[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5),Integer(6),Integer(7),Integer(8),Integer(9),Integer(1),Integer(1),Integer(1)])
sage: B*A
[Integer(12) Integer(12) Integer(15)]
[Integer(30) Integer(33) Integer(42)]
[Integer(48) Integer(54) Integer(69)]
[ Integer(6)  Integer(7)  Integer(9)]

sage: A = matrix(Integer(3),Integer(3),[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5),Integer(6),Integer(7),Integer(8),Integer(9)])
sage: det(A)
Integer(0)
sage: a = var("a"); b = var("b"); c = var("c"); d = var("d")
sage: B = matrix(Integer(2),Integer(2),[a,b,c,d])
sage: det(B)
a*d - b*c

sage: C0 = [x for x in range(-Integer(10),Integer(10)) if x%Integer(3) == Integer(0)]; print C0
[-Integer(9), -Integer(6), -Integer(3), Integer(0), Integer(3), Integer(6), Integer(9)]
sage: C1 = [x for x in range(-Integer(10),Integer(10)) if x%Integer(3) == Integer(1)]; print C1
[-Integer(8), -Integer(5), -Integer(2), Integer(1), Integer(4), Integer(7)]
sage: C2 = [x for x in range(-Integer(10),Integer(10)) if x%Integer(3) == Integer(2)]; print C2
[-Integer(10), -Integer(7), -Integer(4), -Integer(1), Integer(2), Integer(5), Integer(8)]

sage: expand((x+y)**(Integer(5)))
 y**Integer(5) + Integer(5)*x*y**Integer(4) + Integer(10)*x**Integer(2)*y**Integer(3) + Integer(10)*x**Integer(3)*y**Integer(2) + Integer(5)*x**Integer(4)*y + x**Integer(5)
sage: binomial(Integer(5),Integer(2))
Integer(10)
sage: terms = ["x","x","y","y","y"]
sage: number_of_permutations(terms)
Integer(10)
sage: permutations(terms)
['xxyyy', 'xyxyy', 'xyyxy', 'xyyyx', 'yxxyy',
        'yxyxy', 'yxyyx', 'yyxxy', 'yyxyx', 'yyyxx']
sage: terms = [Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4),Integer(5)]
sage: number_of_permutations(terms)
Integer(120)
sage: factorial(Integer(5))
Integer(120)

### ch 3

def swap(g):
    N = parent(g).degree()
    return sum([len([i2 for i2 in range(i1+Integer(1),N+Integer(1))
                if g(i2)<g(i1)]) for i1 in range(Integer(1),N)])


sage: G = SymmetricGroup(Integer(4))
sage: g = G.random_element(); g
(Integer(1),Integer(2),Integer(3))
sage: swap(g)
Integer(2)
sage: G = SymmetricGroup(Integer(3))
sage: g = G([(Integer(1),Integer(2))])
sage: swap(g)
Integer(1)

sage: G = SymmetricGroup(Integer(6))
sage: G.order()
Integer(720)
sage: swaps = [swap(g) for g in G]
sage: M = max(swaps); M
Integer(15)
sage: L = [swaps.count(i) for i in range(Integer(16))]
sage: list_plot(L).show()

sage: G = SymmetricGroup(Integer(4))
sage: g1 = G([(Integer(2),Integer(4)),(Integer(1),Integer(3))])
sage: g2 = G([(Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4))])
sage: matrix([[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)],[g1(i) for i in [Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]]])
[Integer(1) Integer(2) Integer(3) Integer(4)]
[Integer(3) Integer(4) Integer(1) Integer(2)]
sage: matrix([[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)],[g2(i) for i in [Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]]])
[Integer(1) Integer(2) Integer(3) Integer(4)]
[Integer(2) Integer(3) Integer(4) Integer(1)]
sage: g1*g2
(Integer(1),Integer(4),Integer(3),Integer(2))
sage: matrix([[Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)],[(g1*g2)(i) for i in [Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4)]]])
[Integer(1) Integer(2) Integer(3) Integer(4)]
[Integer(4) Integer(1) Integer(2) Integer(3)]
sage: g2*g1
(Integer(1),Integer(4),Integer(3),Integer(2))

sage: G = SymmetricGroup(Integer(4))
sage: g1 = G([(Integer(2),Integer(4)),(Integer(1),Integer(3))])
sage: g2 = G([(Integer(1),Integer(2),Integer(3),Integer(4))])
sage: g2*g1
(Integer(1),Integer(4),Integer(3),Integer(2))
sage: g1.sign()
Integer(1)
sage: g2.sign()
-Integer(1)
sage: (g1*g2).sign()
-Integer(1)
sage: g1.order()
Integer(2)
sage: g2.order()
Integer(4)
sage: (g1*g2).order()
Integer(4)


#### ch 4

sage: f= [(Integer(17),Integer(19),Integer(24),Integer(22)),(Integer(18),Integer(21),Integer(23),Integer(20)),(Integer(6),Integer(25),Integer(43),Integer(16)),\
                (Integer(7),Integer(28),Integer(42),Integer(13)),(Integer(8),Integer(30),Integer(41),Integer(11))]
sage: b=[(Integer(33),Integer(35),Integer(40),Integer(38)),(Integer(34),Integer(37),Integer(39),Integer(36)),( Integer(3), Integer(9),Integer(46),Integer(32)),\
                   ( Integer(2),Integer(12),Integer(47),Integer(29)),( Integer(1),Integer(14),Integer(48),Integer(27))]
sage: l=[( Integer(9),Integer(11),Integer(16),Integer(14)),(Integer(10),Integer(13),Integer(15),Integer(12)),( Integer(1),Integer(17),Integer(41),Integer(40)),\
                    ( Integer(4),Integer(20),Integer(44),Integer(37)),( Integer(6),Integer(22),Integer(46),Integer(35))]
sage: r=[(Integer(25),Integer(27),Integer(32),Integer(30)),(Integer(26),Integer(29),Integer(31),Integer(28)),( Integer(3),Integer(38),Integer(43),Integer(19)),\
                   ( Integer(5),Integer(36),Integer(45),Integer(21)),( Integer(8),Integer(33),Integer(48),Integer(24))]
sage: u=[( Integer(1), Integer(3), Integer(8), Integer(6)),( Integer(2), Integer(5), Integer(7), Integer(4)),( Integer(9),Integer(33),Integer(25),Integer(17)),\
                   (Integer(10),Integer(34),Integer(26),Integer(18)),(Integer(11),Integer(35),Integer(27),Integer(19))]
sage: d=[(Integer(41),Integer(43),Integer(48),Integer(46)),(Integer(42),Integer(45),Integer(47),Integer(44)),(Integer(14),Integer(22),Integer(30),Integer(38)),\
                   (Integer(15),Integer(23),Integer(31),Integer(39)),(Integer(16),Integer(24),Integer(32),Integer(40))]
sage: cube = PermutationGroup([f,b,l,r,u,d])
sage: F,B,L,R,U,D = cube.gens()
sage: cube.order()
Integer(43252003274489856000)
sage: F.order()
Integer(4)

sage: rubik = CubeGroup()
sage: rubik.move("")
[(), [Integer(1), Integer(2), Integer(3), Integer(4), Integer(5), Integer(6), Integer(7), Integer(8), Integer(9), Integer(10), Integer(11), Integer(12), Integer(13), Integer(14), Integer(15), Integer(16),
Integer(17), Integer(18), Integer(19), Integer(20), Integer(21), Integer(22), Integer(23), Integer(24), Integer(25), Integer(26), Integer(27), Integer(28), Integer(29), Integer(30),
Integer(31), Integer(32), Integer(33), Integer(34), Integer(35), Integer(36), Integer(37), Integer(38), Integer(39), Integer(40), Integer(41), Integer(42), Integer(43), Integer(44),
Integer(45), Integer(46), Integer(47), Integer(48)]]
sage: rubik.faces("R*L")
{'back': [[Integer(48), Integer(34), Integer(6)], [Integer(45), Integer(0), Integer(4)], [Integer(43), Integer(39), Integer(1)]],
 'down': [[Integer(40), Integer(42), Integer(19)], [Integer(37), Integer(0), Integer(21)], [Integer(35), Integer(47), Integer(24)]],
 'front': [[Integer(41), Integer(18), Integer(3)], [Integer(44), Integer(0), Integer(5)], [Integer(46), Integer(23), Integer(8)]],
 'left': [[Integer(11), Integer(13), Integer(16)], [Integer(10), Integer(0), Integer(15)], [Integer(9), Integer(12), Integer(14)]],
 'right': [[Integer(27), Integer(29), Integer(32)], [Integer(26), Integer(0), Integer(31)], [Integer(25), Integer(28), Integer(30)]],
 'up': [[Integer(17), Integer(2), Integer(38)], [Integer(20), Integer(0), Integer(36)], [Integer(22), Integer(7), Integer(33)]]}
sage: P = rubik.plot_cube("R^2*U^2*R^2*U^2*R^2*U^2")
sage: show(P)

### ch 5

sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)', '(2,3)'])
sage: G.cayley_table(names="abcdef")
       [a b c d e f]
       [b a d c f e]
       [c e a f b d]
       [d f b e a c]
       [e c f a d b]
       [f d e b c a]

sage: G = SymmetricGroup(Integer(6))
sage: g1 = G.random_element()
sage: g2 = G.random_element()
sage: H = G.subgroup([g1,g2])
sage: G.order()/H.order() in ZZ
True

sage: R2 = PolynomialRing(QQ,Integer(2),"xy")
sage: F2 = FractionField(R2)
sage: x,y = R2.gens()
sage: f = lambda n: F2((x+Integer(1)/x+y+Integer(1)/y+x*y+y/x+Integer(1)/(x*y)+x/y)**n)
sage: a = f(Integer(10)).numerator()
sage: b = f(Integer(10)).denominator()
sage: b
x**Integer(10)*y**Integer(10)
sage: a.coefficient(x**(Integer(11))*y**(Integer(11)))
Integer(19246920)

sage: rubik = CubeGroup()
sage: r = rubik.R()
sage: u = rubik.U()
sage: G = PermutationGroup([r**Integer(2),u**Integer(2)])
sage: G.order()
Integer(12)
sage: D6 = DihedralGroup(Integer(6))
sage: G.is_isomorphic(D6)
True

sage: rubik = CubeGroup()
sage: r = rubik.R()
sage: u = rubik.U()
sage: G = PermutationGroup([r**Integer(2),u**Integer(2)])
sage: G.is_solvable()
True

sage: g = r*u*r**(-Integer(1))*u**(-Integer(1))
sage: g**Integer(2)
(Integer(1),Integer(35),Integer(9))(Integer(2),Integer(5),Integer(21))(Integer(3),Integer(27),Integer(33))(Integer(8),Integer(25),Integer(19))(Integer(24),Integer(30),Integer(43))(Integer(26),Integer(28),Integer(34))
sage: g**Integer(3)
(Integer(1),Integer(33))(Integer(3),Integer(35))(Integer(8),Integer(43))(Integer(9),Integer(27))(Integer(19),Integer(30))(Integer(24),Integer(25))

sage: rubik = CubeGroup()
sage: r = rubik.R()
sage: u = rubik.U()
sage: G = PermutationGroup([r**Integer(2),u**Integer(2)])
sage: CG = G.conjugacy_classes_representatives(); CG
[(),
 (Integer(3),Integer(43))(Integer(5),Integer(45))(Integer(8),Integer(48))(Integer(19),Integer(38))(Integer(21),Integer(36))(Integer(24),Integer(33))(Integer(25),Integer(32))(Integer(26),Integer(31))(Integer(27),Integer(30))
   (Integer(28),Integer(29)),
 (Integer(2),Integer(7))(Integer(18),Integer(34))(Integer(21),Integer(36))(Integer(28),Integer(29)),
 (Integer(2),Integer(7))(Integer(3),Integer(43))(Integer(5),Integer(45))(Integer(8),Integer(48))(Integer(18),Integer(34))(Integer(19),Integer(38))(Integer(24),Integer(33))(Integer(25),Integer(32))(Integer(26),Integer(31))
   (Integer(27),Integer(30)),
 (Integer(1),Integer(8),Integer(48))(Integer(3),Integer(43),Integer(6))(Integer(4),Integer(5),Integer(45))(Integer(9),Integer(25),Integer(32))(Integer(10),Integer(26),Integer(31))(Integer(11),Integer(27),Integer(30))
   (Integer(17),Integer(33),Integer(24))(Integer(19),Integer(38),Integer(35)),
 (Integer(1),Integer(8),Integer(48))(Integer(2),Integer(7))(Integer(3),Integer(43),Integer(6))(Integer(4),Integer(5),Integer(45))(Integer(9),Integer(25),Integer(32))(Integer(10),Integer(26),Integer(31))(Integer(11),Integer(27),Integer(30))
   (Integer(17),Integer(33),Integer(24))(Integer(18),Integer(34))(Integer(19),Integer(38),Integer(35))(Integer(21),Integer(36))(Integer(28),Integer(29))]
sage: t = PolynomialRing(QQ,"t").gen()
sage: p_G = sum([t**(g.order()) for g in CG]); p_G
t**Integer(6) + t**Integer(3) + Integer(3)*t**Integer(2) + t


sage: G = SymmetricGroup(Integer(6))
sage: CG = G.conjugacy_classes_representatives()
sage: class_eqn = sum([G.order()/(G0.Centralizer(x)).Order()\
                       for x in CG])
sage: class_eqn == G.order()
True